|
"Теория конечных деформаций" Специальный курс лекций для студентов и аспирантов кафедры теории упругости. Лектор — доктор физ.-мат. наук профессор Г.Л.БРОВКО
1. Тела, масса, вселенная. Взаимодействия отделенных тел, системы сил, результирующая сила. Мир событий, системы отсчета, пространство мест (конфигураций) и пространство моментов времени. Замена системы отсчета. Движение, актуальные конфигурации тел. Основные характеристики движений и взаимодействий: перемещение, скорость, ускорение, количество движения, момент количества движения, кинетическая энергия, момент сил, мощность работы сил взаимодействия отделенных тел.
2. Основные законы классической механики: закон сохранения массы, закон соотнесенности сил и конфигураций тел, закон независимости мощности работы результирующих сил от системы отсчета. Преобразование основных характеристик движений и взаимодействий при замене системы отсчета. Сбалансированность системы сил, следствие о действии и противодействии.
3. Большая система тел. Активные силы и силы инерции. Инерциальные системы отсчета. Законы инерции Ньютона. Распределенность сил инерции по отношению к массе. Первый и второй законы движения Эйлера.
4. Основные гипотезы механики сплошной среды: гипотеза сплошности, гипотеза распределенности массы по отношению к объему, гипотеза распределенности активных массовых и поверхностных (контактных) сил. Законы движения Коши—Эйлера в механике сплошной среды.
5. Способы описания движения: материальный, отсчетный (лагранжев), относительный, пространственный (эйлеров), — их эквивалентность. Материальные производные скалярных, векторных и тензорных механических характеристик по времени. Представление вектора ускорения и уравнения неразрывности в лагранжевой и эйлеровой формах. Изохорические движения, несжимаемость. Траектории движения, линии тока. Установившееся (стационарное) движение.
6. Понятие деформации по Коши. Аффинор деформации, полярное разложение. Правый и левый тензоры растяжений, тензор вращений (поворота). Правые и левые главные оси деформации, главные удлинения. Однородная деформация. Примеры: жесткое движение, чистая деформация.
7. Подходы Коши—Грина и Коши—Альманзи к описанию деформаций. Меры деформаций Коши, Альманзи и Фингера. Тензоры деформаций Грина и Альманзи, взаимные тензоры деформаций. Деформации элементарных площадок и объемов.
8. Тензоры дисторсий. Выражение тензоров деформаций через вектор перемещений. Случаи малых деформаций, малых дисторсий, классический случай “малых деформаций”. Линейный тензор деформаций Коши. Специальный случай малых поворотов и больших деформаций, линейный тензор деформаций Коши как мера больших деформаций.
9. Наложение деформаций. Тензоры скоростей дисторсий, скоростей деформаций и скоростей вращений (спин), их связь с тензорами дисторсий, деформаций и вращений относительного описания. Кинематический смысл тензоров скоростей деформаций и скоростей вращений, связь с тензорами растяжений и поворота отсчетного описания. Тензоры скоростей дисторсий и скоростей деформаций высшего порядка, тензоры Ривлина—Эриксена. Преобразования при замене системы отсчета, формула Зарембы‑Зоравского.
10. Напряженное состояние среды. Постулат Коши, основная лемма. Фундаментальная теорема Коши, доказательство У.Нолла. Тензор истинных напряжений Коши. Нормальные и касательные напряжения. Теорема взаимности Коши, свойство парности декартовых компонент напряжений. Главные оси напряжений, главные напряжения.
11. Лагранжево и смешанное описание напряженного состояния. Тензоры условных напряжений Пиолы—Кирхгофа первого и второго рода, “энергетический” тензор напряжений Ильюшина. Связь между различными тензорами напряжений в случаях малых деформаций и малых дисторсий. Возможные упрощения в случае малых поворотов и больших деформаций, о симметричности первого тензора Пиолы—Кирхгофа.
12. Уравнения баланса в механике сплошной среды (локальная форма): уравнения неразрывности, первое и второе уравнения движения Коши. Представление уравнений движения через тензоры условных напряжений в лагранжевом описании.
13. Граничные и начальные условия. Основная система соотношений начально-краевой задачи механики сплошной среды в лагранжевом описании; квазистатика, статика, необходимые условия статического равновесия. Особенности и практические трудности формулировок краевых задач в лагранжевом описании. Основная система в классическом случае “малых деформаций”, снесение действия массовых сил и граничных условий на отсчетную (недеформированную) конфигурацию тела. Основная система соотношений начально-краевой задачи в эйлеровом описании; квазистатика, статика, стационарные движения. Предыстория деформации среды, втекающей в эйлерову область, принципиальная ограничительность эйлеровых постановок краевых задач.
14. Внешние воздействия и динамические процессы в телах, их взаимосвязь и преобразование при замене системы отсчета. Механические свойства сопротивления тел деформированию, определяющие соотношения. Упрощающие предположения о внутренних массовых взаимодействиях. Предыстория движения. Основные принципы общей теории определяющих соотношений механики сплошной среды: принцип детерминизма и причинности, принцип локальности, принцип материальной независимости от системы отсчета.
15. Гипотеза макрофизической определимости, классические среды (простые материалы). Совместные следствия гипотезы и основных принципов. Общие приведенные формы определяющих соотношений классической механики сплошной среды А.А.Ильюшина и У.Нолла, их эквивалентность.
16. Материалы с внутренними кинематическими связями: принцип детерминизма и определяющие соотношения. Примеры: несжимаемость, нерастяжимость, абсолютная твердость.
17. Некоторые общие классы определяющих соотношений механических свойств сопротивления деформированию: единообразные и однородные тела, склерономные и реономные свойства, материалы с конечной и инфинитезимальной памятью, с мгновенной реакцией (упругие), изотропия и анизотропия свойств.
18. Экспериментальная воспроизводимость реакций тел. М-эксперименты. Теория и практика определяющих экспериментов. Конечная предыстория деформации, старение тел. Некоторые типичные эксперименты.
19. Построение приведенных форм определяющих соотношений сред по заданному набору определяющих параметров. Набор параметров простейших жидкостей, приведенная форма определяющего соотношения. Частные случаи: классические идеальная и линейно вязкая жидкость.
20. Набор параметров упругого тела, приведенная форма определяющего соотношения. О дополнительных неравенствах в нелинейной теории упругости. Основные предположения классической теории упругости.
21. Подходы к моделированию сложных свойств сред при конечных деформациях. Понятия скоростей изменения тензоров во времени: объективные производные. Коротационная производная Яуманна. Производные Олдройда, Коттер‑Ривлина, интегрируемость. Производные Трусделла, Хилла, косые производные Седова.
22. Общие свойства объективных производных конвективно-коротационного типа. Особые свойства коротационных производных. О моделях гипоупругости с различными объективными производными. Модель с производной Яуманна, «аномалия» простого сдвига. Нейтральная производная Динса, исключение «аномалии»; аналогия с дополнительными неравенствами в нелинейной теории упругости.
23. Подходы к построению обобщенных тензорных мер напряжений и конечных деформаций. Основные требования к мерам. Связь с выбором объективных производных.
Литература
1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.
2. Трусделл К.А. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.
3. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1,2. М.: Наука, 1984.
4. Жермен П. Механика сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983.
5. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: ИЛ, 1963.
6. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962.
7. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. Курс лекций. М.: Физматлит, 2006.
8. Эглит М.Э. Лекции по основам механики сплошных сред. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2008.
9. Кутилин Д.И. Теория конечных деформаций. М.-Л.: Гостехиздат, 1947.
10. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965.
11. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. М.: Мир, 1979.
12. Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978.
13. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.
14. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1988.
15. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.
16. Постников М.М. Лекции по геометрии. Ч.1. Аналитическая геометрия. Ч.2. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. М.: Наука. Ч.1.—1986. Ч.2.—1986.
17. Noll W. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media. Arch. Rat. Mech. Anal. 1958. V.2. Pp.197-226.
18. Oldroyd J.G. On the formulation of rheological equations of state. Proc. Roy. Soc. London. A. 1950. V.200. Pp.523-541.
19. Cotter B.A., Rivlin R.S. Tensors assotiated with time-dependent stress. Quart. Appl. Math. 1955. V.13. No2. Pp.177-188.
20. Hill R. Aspects of invariance in solid mechanics. Advances in Appl. Mech. N.-Y. - L.: Acad. Press. 1978. V.18. Pp.1-75.
21. Бровко Г.Л. Понятия образа процесса и пятимерной изотропии свойств материалов при конечных деформациях. Докл. АН СССР. 1989. Т. 308. № 3. С.565-570.
22. Бровко Г.Л. Свойства и интегрирование некоторых производных по времени от тензорных процессов в механике сплошной среды. Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1990. № 1. С.54-60.
23. Бровко Г.Л. Материальные и пространственные представления определяющих соотношений деформируемых сред. ПММ. 1990. Т.54. Вып.5. С.814-824.
|
