МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
проф. Г.Л. Бровко
0,75 года, 3 курс (отделение механики), 1 семестр
1. Элементы классической гидромеханики.
1.1. Гидростатика. Уравнения гидростатики, необходимые условия их выполнения. Граничные условия. Задачи гидростатики. Закон Паскаля, гидравлические машины. Равновесие жидкостей и газов в поле сил тяжести; формула Торричелли, статические модели океана и атмосферы.
1.2. Сила и момент сил воздействия со стороны покоящейся жидкости на погруженное в нее тело. Закон Архимеда, выталкивающая сила. Однородное поле сил тяжести: неполное погружение, контакт с дном и стенками сосуда. Линия действия выталкивающей силы, вопросы устойчивости равновесия погруженных в жидкость и плавающих тел.
1.3. Покой жидкости в неинерциальных системах отсчета («псевдогидростатика»). Примеры покоя жидкости в сосудах, движущихся относительно инерциальной системы отсчета: сосуд, движущийся с постоянным ускорением, сосуд, вращающийся с постоянной угловой скоростью.
1.4. Гидродинамика идеальных жидкостей. Уравнения Эйлера, уравнения в форме Громеко-Лэмба. Задачи о течении сжимаемых и несжимаемых идеальных жидкостей в стационарном и нестационарном режимах. Граничное условие непроникания.
1.5. Первый интеграл уравнений движения идеальных однородных жидкостей в случае установившегося течения (интеграл Бернулли): условия и основные случаи выполнения. Интеграл Бернулли для идеальной несжимаемой однородной жидкости в поле сил тяжести Примеры: истечение жидкости из большого сосуда, трубка Пито-Прандтля, обтекание несимметричного крылового профиля.
1.6. Установившиеся течения идеальных однородных жидкостей в тонких трубках переменного поперечного сечения. Несжимаемые жидкости, пульверизатор. Сжимаемые жидкости: течения в трубках с дозвуковыми и сверхзвуковыми скоростями. Сопло Лаваля.
1.7. Потенциальные течения идеальных жидкостей. Интеграл Коши-Лагранжа. Случай установившегося течения. Задачи о потенциальных течениях сжимаемых и несжимаемых жидкостей.
1.8. Потенциальные течения несжимаемых идеальных однородных жидкостей. Уравнение неразрывности, оператор Лапласа, фундаментальные решения: источники, стоки, диполи. Плоские течения: потенциал, функция тока, комплексный потенциал, комплексная скорость.
1.9. Обтекание сферы. Парадокс Даламбера. Присоединенная масса.
1.10. Распространение малых потенциальных возмущений в идеальной сжимаемой однородной жидкости (акустика). Волновое уравнение. Плоские и сферические волны. Движущиеся источники: эффект Допплера, конус Маха.
1.11. Кинематические теоремы Гельмгольца и общие теоремы гидромеханики идеальных жидкостей. Теорема Томсона и ее следствия (теоремы Лагранжа и Гельмгольца).
1.12. Гидромеханика вязких жидкостей. Уравнения Навье-Стокса для линейно-вязких (ньютоновых) жидкостей. Постановки задач, граничное условие прилипания.
1.13. Течение несжимаемой однородной вязкой жидкости в цилиндрической трубе. Решение Пуазейля.
1.14. Вискозиметрические течения: плокопараллельное установившееся течение между смещающимися плоскими стенками (простой сдвиг), установившееся течение несжимаемой вязкой жидкости между вращающимися коаксиальными цилиндрами. Возможные упрощения в задачах гидромеханики вязких жидкостей. Медленные течения, приближение Стокса.
1.15. Размерности физических величин. Системы единиц измерения. Родственные системы единиц, инвариантность физических соотношений относительно выбора системы единиц. П‑теорема.
1.16. Применение методов теории размерностей и подобия в моделировании течений жидкостей. Натура и модель, совпадение безразмерных характеристик. Моделирование процессов обтекания тел. Примеры определения подъемной силы (силы сопротивления) при обтекании идеальной жидкостью, вязкой жидкостью (число Рейнольдса), в том числе с учетом сил тяжести (число Фруда) и сжимаемости жидкости (число Маха).
1.17. Понятие пограничного слоя. Уравнения ламинарного пограничного слоя обтекания полубесконечной пластины вязкой несжимаемой жидкостью (уравнения Прандтля).
1.18. Задача об установившемся обтекании полубесконечной пластины вязкой несжимаемой жидкостью (задача Блазиуса). Толщина пограничного слоя, касательные напряжения на поверхностях пластины, толщина вытеснения.
2. Элементы классической теории упругости.
2.1. Общие теоремы механики сплошной среды: принцип виртуальных мощностей, теорема о работе и кинетической энергии. Независимость мощности работы (по преодолению) внутренних сил от системы отсчета. Упругость, гиперупругость. Удельный и полный потенциалы внутренних сил (напряжений). Запасенная (потенциальная) энергия гиперупругого тела.
2.2. Функция связи тензора напряжений и тензора деформаций в упругом теле. Свойства изотропии, линейности и потенциальности функции, их сопоставление. Монотонность функции и выпуклость ее потенциала. Условия монотонности линейной и линейной изотропной функции. О дополнительных неравенствах в теории упругости.
2.3. Лагранжева постановка начально-краевой задачи нелинейной теории упругости. Особенности задания массовых сил и силовых граничных условий. Неединственность решения, примеры. Основные положения классической линейной теории упругости, упрощения в постановке краевой задачи.
2.4. Общие теоремы классической линейной теории упругости: теорема Клапейрона о «работе» и потенциальной энергии, теорема взаимности Бетти. Примеры применения теоремы Бетти.
2.5. Постановка начально-краевой задачи классической линейной теории упругости. Динамика, статика, квазистатика. Граничные условия для вектора перемещений (кинематические) и для вектора напряжений (силовые). Первая, вторая и смешанная краевые задачи. Уравнения Ламе, постановка задач в перемещениях.
2.6. Краевые задачи статики классической линейной теории упругости. Необходимые условия разрешимости второй краевой задачи. Строгая монотонность связи тензоров напряжений и деформаций, и теорема о единственности решения.
2.7. Простейшие задачи классической линейной теории упругости: чисто объемная деформация, простой сдвиг плоского упругого слоя, одноосное растяжение (сжатие). Константы упругости изотропного тела: модуль объемного сжатия, модуль сдвига, модуль Юнга, коэффициент Пуассона, – их механический смысл и связь с константами Ламе.
2.8. Кинематически возможные и статически возможные поля для задачи статики линейной теории упругости. Понятие о корректности задачи. Вариационный принцип Лагранжа.
2.9. Дополнительные потенциалы. Вариационный принцип Кастильяно.
2.10. Постановка второй краевой задачи статики линейной теории упругости в напряжениях. Уравнения Бельтрами-Мичелла.
2.11. Кручение призматического упругого бруса. Крутка, депланация. Связь крутки и крутящего момента. Точное решение для круглого стержня. Подход с использованием функции напряжений. Аналогия с течением Пуазейля.
2.12. Представление решений уравнения Ламе для статики в форме Папковича-Нейбера.
2.13. Понятие об обобщенных функциях (распределениях). Распределения, сосредоточенные в точке. Понятие о сосредоточенных силах и фундаментальных решениях в математической теории упругости. Тензор перемещений Грина. Теорема Максвелла о взаимности работ сосредоточенных сил.
2.14. Формула Сомильяны. Представление решений краевых задач классической линейной теории упругости для ограниченной области и для всего пространства через соответствующие фундаментальные решения. Фундаментальные решения Кельвина для пространства.
2.15. Плоская деформация в классической линейной теории упругости. Задача Ламе для толстостенной трубы. Антиплоская деформация. Осевой сдвиг полого кругового цилиндра.
2.16. Плоское напряженное состояние и обобщенное плоское напряженное состояние в классической линейной теории упругости. Деформация вращающегося тонкого диска под действием центробежных сил.
2.17. Статические задачи механики сплошной среды при отсутствии массовых сил: представление тензорного поля напряжений через тензор функций напряжений. Плоские задачи классической теории упругости при отсутствии массовых сил: представление тензора напряжений через функцию напряжений Эри. Бигармоничность функции Эри. Постановка второй плоской краевой задачи линейной теории упругости в терминах функции Эри.
2.18. Анализ уравнений динамики классической линейной теории упругости изотропного тела: потенциальные и соленоидальные решения. Скорости распространения продольных и поперечных волн. Примеры плоских продольных и поперечных волн. Приближенная теория продольных волн в стержнях. Стержневая скорость распространения возмущений.
2.19. Сферические волны в упругих телах. Деформация упругого пространства со сферической полостью под действием равномерной радиальной поверхностной динамической нагрузки.
2.20. Основные типы задач динамики линейной теории упругости. Начально-краевая задача; случай свободной границы и отсутствия массовых сил (свободное движение, или свободные колебания тела). Задача об установившихся колебаниях упругого тела; случай однородных граничных условий и отсутствия массовых сил (собственные колебания). Вынужденные колебания, понятие о неустойчивых режимах (флаттер, дивергенция).
Литература
Общие источники:
1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М., изд-во МГУ, 1990.
2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1,2. М., Наука, 1984.
3. Трусделл К.А. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М., Мир, 1975.
4. Жермен П. Механика сплошных сред. М., Высшая школа, 1983.
5. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. М.: Физматлит, 2006.
6. Ильюшин А.А., Ломакин В.А., Шмаков А.П. Задачи и упражнения по механике сплошной среды. М., изд-во МГУ, 1979.
7. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М., Мир, 1974.
8. Механика сплошных сред в задачах (под ред. М.Э. Эглит). Т.1,2. М., Московский лицей, 1996.
Специальные источники:
1. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч.1, 2. М., ГИФМЛ, 1963.
2. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М., Наука, 1972.
3. Новацкий В. Теория упругости. М., Мир, 1975.
4. Лурье А.И. Теория упругости. М., Наука, 1970.
5. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М., Наука, 1979.
6. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М., Высшая школа, 1976.
Дополнительная литература:
1. Ламб Г. Гидродинамика. ОГИЗ. ГИТТЛ. М. - Л.: 1947.
2. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М., Мир, 1967.
3. Ляв А. Математическая теория упругости. М., ОНТИ, 1935.
4. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М., Наука, 1975.
5. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М., Наука, 1980.
6. Исраилов М.Ш. Динамическая теория упругости и дифракция волн. М., изд-во МГУ, 1992.
МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
проф. Г.Л. Бровко
0,75 года, 3 курс (отделение механики), 2 семестр
1. Основы общей классификации сплошных сред.
1.1. Простые материалы: реакции по отношению к разным системам отсчета и разным отсчетным конфигурациям. Определяющие соотношения в формах Нолла, Ильюшина и Трусделла. Естественная отсчетная конфигурация.
1.2. Материальный изоморфизм. Единообразные и однородные тела. Равноправные отсчетные конфигурации материальной частицы. Группа равноправности отсчетной конфигурации, унимодулярность группы. Изоморфизм групп равноправности разных отсчетных конфигураций. Эгалитарные материалы.
1.3. Изотропные материалы. Определение, неискаженная отсчетная конфигурация. Определяющие соотношения изотропных материалов в формах Нолла, Ильюшина и Трусделла (основная теорема об изотропных материалах).
1.4. Твердые тела: определение и примеры. Различные неискаженные конфигурации твердого тела и их группы равноправности. Теорема об изотропных твердых телах, конформность связи неискаженных отсчетных конфигураций.
1.5. Жидкости: определение и следствия (изотропия свойств, неискаженность любой отсчетной конфигурации). Теорема о жидкостях. Поведение в состоянии покоя, память.
2. Элементы термомеханики.
2.1. Теорема живых сил. Пренебрежение работой внутренних массовых сил и аддитивность мощности работы по преодолению внутренних контактных сил. Система скоростей нагрева (передачи тепла). Внутренняя и полная энергия тела. Уравнения баланса внутренней и полной энергии тела (первый закон термодинамики). Независимость внутренней энергии и системы скоростей нагрева от системы отсчета. Аддитивность внутренней энергии и попарная уравновешенность системы скоростей нагрева.
2.2. Гипотезы термомеханики сплошных сред о распределенности внутренней энергии по отношению к массе, о распределенности массовых и контактных систем скоростей нагрева. Теория теплового потока Фурье-Стокса для контактных систем скоростей нагрева (аналог теории напряжений Коши): основной постулат, лемма о локальной попарной уравновешенности, фундаментальная теорема о существовании вектора потока тепла.
2.3. Уравнения баланса энергии в интегральной форме и в дифференциальной форме (уравнение притока тепла для плотностей внутренней и полной энергии частицы тела). Циклы. Энергетическая отдача. Невозможность вечного двигателя первого рода.
2.4. Термомеханическая система, экстенсивные и интенсивные параметры системы, однородные процессы. Независимые термомеханические параметры, ситуация, процесс, состояние. Термостатика: равновесные состояния и процессы. Обратимость. Термическое взаимное равновесие тел; температура, холодность.
2.5. Аксиома диссипации. Верхняя тепловая грань, некомпенсированное тепло (рассеяние, диссипация). Скорость диссипации, неравенство Планка. Принцип термодинамически допустимого детерминизма. Энтропия, аксиома диссипации в форме неравенства Клаузиуса (второй закон термодинамики). Свободная энергия, приведенное неравенство диссипации. Формулировки неравенств в терминах экстенсивных и интенсивных параметров. Эффективный принцип термодинамически допустимого детерминизма.
2.6. Циклы. Тепловые машины (положительная механическая энергоотдача), коэффициент полезного действия. Оценка Карно-Клаузиуса-Кельвина.
2.7. Адиабатические, изэнтропические и изотермические процессы. Необходимые условия достижения верхней оценки коэффициента полезного действия цикла тепловой машины. Цикл Карно. Теорема Трусделла о необходимых и достаточных условиях достижения максимального коэффициента полезного действия тепловой машины в цикле Карно.
2.8. Общие следствия второго закона термодинамики для тепловых и холодильных машин. Необходимость тепловой отдачи тепловой машины (невозможность вечного двигателя второго рода). Холодильные машины. Цикл, обратный к циклу Карно. Невозможность передачи тепла от холодного тела к горячему без каких-либо изменений в других телах (без производства работы над рабочим телом холодильника). Теплопроводность, неравенство Фурье. Закон теплопроводности Фурье.
2.9. Классические определяющие соотношения термомеханики (уравнения состояния). Ситуация (состояние) и термодинамические давления. Теорема о термодинамическом потенциале. Теплоемкости, скрытые теплоты. Теорема Клаузиуса о зависимости внутренней энергии только от температуры.
2.10. Двухпараметрические термомеханические системы. Термодинамический идеальный газ. Совершенный идеальный газ: формула Майера, адиабата Пуассона, цикл Карно. Политропные процессы. Выражения внутренней энергии, энтропии и свободной энергии для совершенного идеального газа.
2.11. Термодинамические потенциалы классической термомеханики: свободная энергия, внутренняя энергия, энтальпия (теплосодержание), свободная энтальпия (потенциал Гиббса), энтропия.
2.12. Диссипативные термодинамические системы. Линейное трение: вектор равновесного термодинамического давления и тензор давления трения. Теорема о термодинамических системах с линейным трением. О недостижимости верхней тепловой грани и максимального коэффициента полезного действия в циклах Карно.
2.13. Напряжения и деформации как термомеханические параметры, энергетическая сопряженность. Классическая термомеханическая среда и среда с внутренним линейным трением (линейной вязкостью): определяющие соотношения и диссипация в терминах условных тензоров напряжений Пиолы-Кирхгофа первого и второго рода. Теорема о линейно вязких термомеханических жидкостях. Свойства коэффициентов вязкости.
2.14. Термоупругость. Термодинамические потенциалы термоупругого тела при произвольных деформациях и в классическом случае малых деформаций. Проявление свойств гиперупругости в изотермических и адиабатических процессах.
2.15. Классическая линейная теория термоупругости. Основные положения и выражение свободной энергии. Представление определяющих соотношений через свободную энергию. Свойства и физический смысл констант линейной термоупругости (констант свободной энергии).
2.16. Классическая линейная теория термоупругости: представление определяющих соотношений через свободную энтальпию (потенциал Гиббса) и через внутреннюю энергию. О наборах констант классической линейной термоупругости.
2.17. О постановках задач термомеханики для идеальных несжимаемых и сжимаемых жидкостей. Уравнения движения Эйлера, уравнения неразрывности и теплопроводности, начальные и граничные условия для механических и термических параметров. Баротропия гомоэнтропичных и гомотермических течений, случай идеального совершенного газа.
2.18. Постановка задачи термомеханики для модели вязкой жидкости. Уравнения движения Навье-Стокса, уравнения неразрывности и теплопроводности, начальные и граничные условия. Уравнение теплопроводности для вязкого теплопроводного совершенного газа.
2.19. Постановки краевых задач классической линейной теории термоупругости с определяющими соотношениями, выраженными через свободную энергию, внутреннюю энергию и свободную энтальпию (потенциал Гиббса). Граничные и начальные условия для механических и термических параметров. Уравнения движения и теплопроводности в терминах вектора перемещений и температуры (энтропии).
2.20. Случаи упрощения уравнений задачи линейной термоупругости: несвязанная задача, изотропия свойств линейной термоупругости, квазистатика. Пример: температурные напряжения в однородном линейно термоупругом шаре, случай точечного источника тепла.
2.21. О других подходах в термомеханике. Классические аксиомы термомеханики (уравнение баланса энергии, аксиома диссипации и неравенство Фурье), уравнение производства энтропии и неравенство Клаузиуса-Дюгема. Диссипативная функция, принцип Онзагера. Подход Ильюшина.
2.22. Приведенное обобщенное неравенство диссипации и обобщенный принцип термодинамически согласованного детерминизма в подходе с неравенством Клаузиуса-Дюгема. Способы стандартной интерпретации термомеханических характеристик (накопления, ситуации, обобщенного градиента температуры, термомеханического натяжения и обобщенного теплового потока).
2.23. Термоупругость: вывод определяющих соотношений из обобщенного принципа термодинамически согласованного детерминизма (на основе неравенства Клаузиуса-Дюгема).
3. Усложненные модели сред и движений.
3.1. Усложненные модели движений. Поверхности разрывов, скорости распространения. Слабые и сильные разрывы. Геометрические и кинематические условия слабого разрыва. Следствия для поля перемещений.
3.2. Теорема Рейнольдса о переносе, модификация на случай поверхности сильного разрыва. Следствие для бесконечно малого материального объема в форме цилиндра, рассеченного поверхностью сильного разрыва. Общее интегральное условие баланса и теорема об общем динамическом условии баланса на поверхности сильного разрыва.
3.3. Динамические условия сохранения массы, баланса количества движения и момента количества движения, баланса энергии и производства энтропии на поверхности сильного разрыва (на ударном фронте). О скачке энтропии на ударном фронте. Тангенциальный разрыв. Скачки уплотнения и разрежения.
3.4. Поверхности сильного разрыва в идеальных сжимаемых средах. Адиабата Гюгонио. Физическая осуществимость скачков уплотнения. Сверхзвуковая скорость ударного фронта, дозвуковая скорость частиц среды после скачка.
3.5. Усложненные модели сред. Реология сред с памятью, реономность и склерономность. Материалы Ривлина-Эриксена. Конечность предыстории, старение. Нестареющие реономные среды интегрального типа.
3.6. Вязкоупругость. Простейшие модели вязкоупругости (модели Максвелла и Фойгта). Изотропное линейно вязкоупругое тело (классическая линейная вязкоупругость). Связь ядер релаксации и ползучести. Модули мгновенной упругости. Нестареющие вязкоупругие тела, ядра разностного типа.
3.7. Определяющие соотношения нестареющего изотропного линейно вязкоупругого тела в форме Больцмана. Определение функций ползучести и релаксации из опытов. Температурно-временная аналогия.
3.8. Пластичность. Диаграмма растяжения-сжатия образца. Предел упругости, площадка текучести, эффект Баушингера. Простейшие одномерные модели идеальной пластичности, пластичности с изотропным упрочнением, пластичности с кинематическим упрочнением (схема Прагера-Циглера). Классические модели пластичности для (частиц) трехмерных тел: теория Сен-Венана, теория Прандтля-Рейсса, деформационная теория Генки. О применении классических теорий.
3.9. Простые упругопластические процессы. Совпадение классических теорий для простых процессов. Теория малых упругопластических деформаций Ильюшина. Теорема о простом нагружении.
Литература
Общие источники:
1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М., Изд-во МГУ, 1990.
2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1, 2. М., Наука, 1984.
3. Трусделл К.А. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М., Мир, 1975.
4. Жермен П. Механика сплошных сред. М., Высшая школа, 1983.
5. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. М.: Физматлит, 2006.
6. Ильюшин А.А., Ломакин В.А., Шмаков А.П. Задачи и упражнения по механике сплошной среды. М., изд-во МГУ, 1979.
7. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М., Мир, 1974.
8. Механика сплошных сред в задачах (под ред. М.Э. Эглит). Т. 1, 2. М., Московский лицей, 1996.
Специальные источники:
1. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1, 2. М., ГИФМЛ, 1963.
2. Новацкий В. Теория упругости. М., Мир, 1975.
3. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М., Наука, 1979.
4. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М., Мысль, 1970.
5. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.
6. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М., изд-во МГУ, 1979.
7. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.
Дополнительная литература:
1. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М., Физматгиз, 1962.
2. Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М., Мир, 1978.
3. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М., Мир, 1964.
4. Толмачев В.В., Головин А.М., Потапов В.С. Термодинамика и электродинамика сплошной среды. М., изд-во МГУ, 1988.
5. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М., изд-во АН СССР, 1963.
6. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М., Гостехиздат, 1956. Переизд.: М., Наука, 1969.
7. Васин Р.А., Еникеев Ф.У. Введение в механику сверхпластичности. Ч. 1. Уфа, Гилем, 1998.
|
