ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

проф. Г.Л. Бровко

1 год, 2 курс (отделение механики)

1. Основные понятия и законы классической механики

1.1. Тела, масса. Взаимодействия тел. Системы сил, результирующая сила. Попарная уравновешенность, сбалансированность систем сил.
1.3. Основные законы классической механики: закон сохранения массы, закон соотнесенности сил и конфигураций тел, закон независимости мощности работы результирующих сил от системы отсчета. Теорема о сбалансированности и следствие о попарной уравновешенности системы сил и моментов сил.

1.2. Мир событий как модель реального мира движущихся и взаимодействующих тел. Системы отсчета, замена системы отсчета. Движение, актуальные конфигурации тел. Основные характеристики движений и взаимодействий.

1.4. Большая система активно взаимодействующих тел. Инерциальные системы отсчета. Законы инерции Ньютона. Активные силы и силы инерции, даламберово равновесие. Первый и второй законы движения Эйлера.

2. Основные гипотезы механики сплошной среды. Способы описания движения сплошной среды.

2.1. Основные гипотезы механики сплошной среды: гипотеза сплошности, гипотеза распределенности массы, гипотеза распределенности массовых и поверхностных сил; контактный характер поверхностных сил. Законы движения Коши-Эйлера в механике сплошной среды.
2.2. Способы описания движения: материальное описание, лагранжевы способы (отсчетное и относительное описание), эйлеров способ (пространственное описание), — их эквивалентность.
2.3. Материальные производные скалярных, векторных и тензорных механических характеристик по времени. Представление вектора ускорения и уравнения неразрывности в лагранжевой и эйлеровой формах. Кинематический смысл дивергенции поля скоростей в эйлеровом описании. Изохорические движения, несжимаемость.
2.4. Траектории движения, линии тока. Установившееся (стационарное) движение. Вихрь поля скоростей (в эйлеровом описании), вихревые линии, вихревые поверхности. Кинематические теоремы Гельмгольца о вихревых трубках. Безвихревые (потенциальные) движения.

3. Деформации материальных частиц среды. Тензоры деформаций Грина и Альманзи.

3.1. Понятие деформации элементарных материальных частиц по Коши. Аффинор деформации, однородная деформация. Полярное разложение аффинора деформации: правый и левый тензоры растяжений (чистой деформации), тензор вращений (поворота), правые и левые главные оси деформации, главные удлинения. Примеры: жесткое движение, чистая деформация.
3.2. Кратности удлинений элементарных материальных волокон и изменение углов между ними в процессе деформации. Подходы Коши-Грина и Коши-Альманзи к описанию деформаций. Меры деформаций Коши и Альманзи, тензоры деформаций Грина и Альманзи.
3.3. Ориентированные элементарные площадки и элементарные объемы. Деформации элементарных площадок и объемов. Представление законов движения Коши-Эйлера в отсчетной конфигурации.

4. Тензоры дисторсий. Выражение тензоров деформаций через вектор перемещений. Случаи малых деформаций, малых дисторсий и классический случай «малых деформаций».

4.1. Тензоры дисторсий. Выражение тензоров деформаций Грина и Альманзи через вектор перемещений, компонентные представления.
4.2. Аддитивные тензоры растяжений и поворота. Случаи малых деформаций, малых дисторсий, классический случай «малых деформаций» (малые дисторсии и перемещения). Линейный тензор деформаций Коши.
4.3. Относительное удлинение материального волокна, (угловой) сдвиг двух материальных волокон, относительное изменение объема в случаях малых деформаций и малых дисторсий (а также в классическом случае малых деформаций). Кинематический смысл декартовых компонент линейного тензора деформаций Коши.

5. Наложение деформаций. Скорости деформаций, спин. Аналогия теории скоростей деформаций и классического случая малых деформаций, уравнения совместности деформаций Сен-Венана.

5.1. Замена отсчетной конфигурации. Актуальная конфигурация в качестве новой отсчетной (относительное описание). Наложение деформаций. Тензоры скоростей дисторсий, скоростей деформаций и скоростей вращений (спин), их связь с тензорами дисторсий, деформаций и вращений относительного описания. Связь тензоров скоростей деформаций и скоростей вращений с тензорами растяжений и поворота отсчетного (лагранжева) описания.
5.2. Кинематический смысл спина и тензора скоростей деформаций, скорость относительного удлинения волокна, скорость (углового) сдвига двух волокон, скорость относительного изменения объема.
5.3. Аналогия теории скоростей деформаций и классического случая малых деформаций. Ротор векторного и тензорного полей, следствия формулы Стокса для потенциальных и безвихревых полей. Уравнения совместности Сен-Венана, тензор несовместности.

6. Теория напряжений. Тензор напряжений Коши, механический смысл компонент, свойство взаимности. Тензоры условных напряжений.

6.1. Напряженное состояние среды. Постулат Коши. Основная лемма и фундаментальная теорема Коши о существовании тензора напряжений.
6.2. Тензор истинных напряжений Коши. Нормальные и касательные напряжения, смысл декартовых компонент тензора напряжений. Теорема взаимности Коши, свойство парности касательных напряжений (декартовых компонент напряжений). Главные оси напряжений, главные напряжения. Пример напряженного состояния при одноосном растяжении.
6.3. Тензоры условных напряжений Пиолы-Кирхгофа первого и второго рода, «энергетический» тензор напряжений Ильюшина. Лагранжево и смешанное описание напряженного состояния (вектора напряжений). Связь компонент тензоров напряжений в лагранжевых (в отстчетной и актуальной конфигурациях) и смешанном базисах. Связь между различными тензорами напряжений в случаях малых деформаций и малых дисторсий.

7. Уравнения баланса в механике сплошной среды (локальная форма). Граничные и начальные условия. О постановках краевых задач.

7.1. Общее уравнение баланса и общее уравнение поля в механике сплошной среды. Пример: баланс удельного объема и уравнение неразрывности. Следствия основной леммы Коши о попарной уравновешенности контактных и массовых сил и их моментов. Учет внутренних массовых сил в активных взаимодействиях тел большой системы (и их частей). Независимость суммарной плотности (внешних и внутренних) активных массовых сил от выбора тела данной большой системы.
7.2. Баланс количества движения и первое уравнение движения Коши. Баланс момента количества движения и второе уравнение движения Коши (симметричность тензора напряжений). Представление уравнений движения через тензоры условных напряжений в лагранжевом описании.
7.3. Граничные и начальные условия. Основная система соотношений (начально-) краевой задачи механики сплошной среды в лагранжевом описании и в классическом случае “малых деформаций”. Динамика, квазистатика, статика, необходимые условия статического равновесия. Основная система соотношений (начально-) краевой задачи в эйлеровом описании. Динамика, квазистатика, стационарные движения.

8. Основные принципы общей теории определяющих соотношений сплошных сред. Гипотеза макроскопичности. Общие приведенные формы определяющих соотношений классических сред (простых тел) А.А. Ильюшина и У. Нолла.

8.1. Внешние воздействия и динамические процессы в телах. Преобразование компонент динамического процесса при замене системы отсчета. Понятия механических свойств сопротивления тел деформированию и определяющих соотношений.
8.2. Основные принципы общей теории определяющих соотношений механики сплошной среды: упрощающие предположения о внутренних массовых взаимодействиях; предыстория движения, принцип детерминизма и причинности; принцип локальности; принцип материальной независимости от системы отсчета. Гипотеза макроскопичности механических свойств материалов, классические среды (простые тела). Рамки классической механики сплошной среды.
8.3. Совместные следствия гипотезы и основных принципов. Общие приведенные формы определяющих соотношений классической механики сплошной среды А.А. Ильюшина и У. Нолла, их эквивалентность.

9. Материалы с внутренними связями: принцип детерминизма и определяющие соотношения.

9.1. Тела с внутренними кинематическими связями. Применение основных принципов теории определяющих соотношений к уравнению кинематических связей, общая приведенная форма уравнения простой кинематической связи (для классических сред).
9.2. Материалы с простейшими (простыми мгновенными) внутренними кинематическими связями: принцип детерминизма и определяющие соотношения. Примеры: несжимаемость, нерастяжимость, абсолютная твердость.

10. Некоторые классы материалов. Определяющие эксперименты. Конечная предыстория тел, старение.

10.1. Некоторые общие классы определяющих соотношений механических свойств сопротивления деформированию: единообразные и однородные тела, склерономные и реономные свойства, материалы с конечной и инфинитезимальной памятью, с мгновенной реакцией (упругие), изотропия и анизотропия свойств.
10.2. Экспериментальная воспроизводимость реакций тел. М-эксперименты. Экспериментальное исследование свойств материалов. Теория определяющих экспериментов. Конечная предыстория деформации, старение тел. Практика эксперимента с однородными образцами: некоторые виды образцов и однородных (квазиоднородных) состояний, типичные эксперименты.

11. Примеры классических сред.

11.1. Простейшие жидкости: текучесть, изотропия. Соответствие определяющим соотношениям У. Нолла и А.А. Ильюшина. Сжимаемость и несжимаемость. Простейшие жидкости с линейными определяющими соотношениями: эйлерова (идеальная) жидкость, ньютонова (линейно вязкая) жидкость. Гидростатика, непроявление вязкости.
11.2. Упругое тело. Гиперупругость, изотропия, линейность определяющей функции. Несжимаемость. Основные предположения классической теории упругости. Закон Гука. Аналогия определяющих соотношений ньютоновой жидкости и классического изотропного линейно упругого тела.

12. О задачах механики сплошной среды для простейших классических сред.

12.1. Задачи гидромеханики идеальных жидкостей. Уравнения Эйлера. Случай несжимаемых однородных жидкостей. Гидростатика, необходимые условия.
12.2. Задачи гидромеханики линейно-вязких жидкостей. Уравнения Навье-Стокса. Гидростатика: совпадение с поведением идеальной жидкости.
12.3. Задачи классической линейной теории упругости. Уравнения Ламе.

Литература

1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М., изд-во МГУ, 1990.

2. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1, 2. М., Наука, 1984.

3. Трусделл К.А. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М., Мир, 1975.

4. Жермен П. Механика сплошных сред. М., Высшая школа, 1983.

5. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. Курс лекций. М.: Физматлит, 2006.

6. Ильюшин А.А., Ломакин В.А., Шмаков А.П. Задачи и упражнения по механике сплошной среды. М., изд-во МГУ, 1979.

7. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М., Мир, 1974.

8. Механика сплошных сред в задачах (под ред. М.Э. Эглит). Т. 1, 2. М., Московский лицей, 1996.

9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1972.

10. Постников М.М. Лекции по геометрии. Ч. 1. Аналитическая геометрия. Ч. 2. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. М., Наука. Ч. 1.–1986. Ч. 2.–1986.