|
"Нелинейная теория упругости" (основы теории).Специальный курс лекций для студентов 3-го курса кафедры теории упругости. Лектор — доктор физ.-мат. наук профессор Г.Л.БРОВКО
1. Понятие деформации по Коши. Аффинор деформации, полярное разложение. Меры деформаций Коши, Альманзи и Фингера. Тензоры деформаций Грина и Альманзи. Логарифмические тензоры деформаций Генки. Наложение деформаций. Тензоры скоростей дисторсий, скоростей деформаций и скоростей вращений (спин).
2. Тензор истинных напряжений Коши. Лагранжево и смешанное описание напряженного состояния. Тензоры условных напряжений Пиолы—Кирхгофа первого и второго рода, “энергетический” тензор напряжений Ильюшина. Уравнения баланса в механике сплошной среды (локальная форма): уравнения неразрывности, первое и второе уравнения движения Коши. Представление уравнений движения через тензоры условных напряжений в лагранжевом описании.
3. Общие приведенные формы определяющих соотношений классической механики сплошной среды А.А.Ильюшина и У.Нолла. Построение приведенных форм определяющих соотношений сред по заданному набору определяющих параметров: простейшая жидкость, упругое тело.
4. Общие теоремы механики сплошной среды: принцип виртуальных мощностей, теорема о работе и кинетической энергии. Совпадение мощности работы (по преодолению) внутренних сил и мощности работы результирующих сил, их независимость от системы отсчета. Лагранжева постановка начально-краевой задачи механики сплошной среды. Особенности задания массовых сил и силовых граничных условий. Случаи статики и квазистатики.
5. Гипоупругость. Понятия скоростей изменения тензоров во времени: объективные производные. Коротационная производная Яуманна. Производные Олдройда, Коттер‑Ривлина, интегрируемость. Производные Трусделла, Хилла, косые производные Седова.
6. Общие свойства объективных производных конвективно-коротационного типа. Особые свойства коротационных производных. О моделях гипоупругости с различными объективными производными. Модель с производной Яуманна, «аномалия» простого сдвига. Нейтральная производная Динса, исключение «аномалии»; аналогия с дополнительными неравенствами в нелинейной теории упругости.
7. Упругость. Функция связи тензора напряжений и тензора деформаций в упругом теле. Естественная отсчетная конфигурация. Свойства изотропии, линейности и потенциальности функции, их сопоставление. Монотонность функции и выпуклость ее потенциала. Условия монотонности линейной и линейной изотропной функции. Основные положения классической линейной теории упругости.
8. Математические модели нелинейно упругих тел в терминах различных тензорных мер напряжений и конечных деформаций. Изотропия. Несжимаемость. Простейшая модель Сен-Венана―Кирхгофа, потенциальность. Тело Сетха, отсутствие упругого потенциала. Модель Ломакина с тензорами Генки.
9. Гиперупругость. Удельный и полный потенциалы внутренних сил (напряжений). Запасенная (потенциальная) энергия гиперупругого тела. Определяющие соотношения гиперупругости. Изотропные гиперупругие тела. Несжимаемость.
10. Лагранжева постановка начально-краевой задачи нелинейной теории упругости. Неединственность решения задач о равновесии, примеры. Универсальные решения задач статики для гиперупругих тел без внутренних кинематических связей (при отсутствии массовых сил). Теорема Эриксена. Об универсальных решениях для несжимаемых гиперупругих тел.
11. Потенциальные нагрузки, «мертвые» нагрузки. Потенциальная энергия деформации и потенциальная энергия системы для гиперупругого тела. Принцип стационарности потенциальной энергии системы.
12. Функция запасенной энергии (потенциальной энергии деформации) вблизи естественной (недеформированной) конфигурации, асимптотика при больших деформациях. О выпуклости функции запасенной энергии и дополнительных неравенствах нелинейной теории упругости.
13. Модели изотропных гиперупругих тел. Материал Мурнагана. Тело Синьорини. Полулинейный («гармонического типа») материал Джона. Потенциалы Муни и Муни―Ривлина.
14. Простейшие задачи нелинейной теории упругости: чисто объемная деформация, одноосное растяжение, простой сдвиг.
15. Задачи Ламе для цилиндра и сферы.
Литература
1. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.
2. Трусделл К.А. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.
3. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1,2. М.: Наука, 1984.
4. Жермен П. Механика сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983.
5. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ, 1935.
6. Лейбензон Л.С. Краткий курс теории упругости. М.-Л.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1942.
7. Кутилин Д.И. Теория конечных деформаций. М.-Л.: Гостехиздат, 1947.
8. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965.
9. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
10. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.
11. Сьярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992.
12. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962.
13. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: ИЛ, 1963.
14. Шемякин Е.И. Введение в теорию упругости. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993.
15. Черных К.Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Ч.1. Теория. Л.-СПб, 1999.
16. Маркин А.А. Нелинейная теория упругости. Тула: Изд-во Тул. Гос. ун-та, 2001.
17. Noll W. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media. Arch. Rat. Mech. Anal. 1958. V.2. Pp.197-226.
18. Oldroyd J.G. On the formulation of rheological equations of state. Proc. Roy. Soc. London. A. 1950. V.200. Pp.523-541.
19. Cotter B.A., Rivlin R.S. Tensors assotiated with time-dependent stress. Quart. Appl. Math. 1955. V.13. No2. Pp.177-188.
20. Hill R. Aspects of invariance in solid mechanics. Advances in Appl. Mech. N.-Y. - L.: Acad. Press. 1978. V.18. Pp.1-75.
21. Бровко Г.Л. Свойства и интегрирование некоторых производных по времени от тензорных процессов в механике сплошной среды. Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1990. 1. С.54-60.
22. Бровко Г.Л. Материальные и пространственные представления определяющих соотношений деформируемых сред. ПММ. 1990. Т.54. Вып.5. С.814-824.
|
